Minggu, 12 Februari 2012

Ahli Matematika

Diposting oleh ayi mulia di 03.00 0 komentar

        ARCHIMEDES    

Archimedes merupakan ahli matematika terbesar dari usianya. Kontribusinya dalam geometri merevolusi subjek dan metodenya mengantisipasi integral kalkulus 2.000 tahun sebelum Newton dan Leibniz. . Dia juga seorang pria benar-benar praktis yang menemukan berbagai mesin termasuk katrol dan perangkat sekrup Archimidean pemompaan.  
Archimedes terkenal dengan teorinya tentang hubungan antara permukaan dan volume dari sebuah bola terhadap selinder. Dia juga dikenal dengan teori dan rumus dari prinsip hydrostatic dan peralatan untuk menaikkan air - 'Archimedes Screw' atau sekrup Archimedes, yang sampai sekarang masih banyak digunakan di negara-negara berkembang. Walaupun pengungkit atau ungkitan telah ditemukan jauh sebelum Archimedes lahir, Archimedes yang mengembangkan teori untuk menghitung beban yang dibutuhkan untuk pengungkit tersebut. Archimedes juga digolongkan sebagai salah satu ahli matematika kuno dan merupakan yang terbaik dan terbesar di jamannya. Perhitungan dari Archimedes yang akurat tentang lengkungan bola di jadikan konstanta matematika untuk Pi atau π .
Archimedes lahir pada tahun 287 Sebelum Masehi di suatu kota pelabuhan Syracuse, Sicily (sekarang Italia). Dalam masa mudanya, Archimedes diperkirakan mendapatkan pendidikannya di Alexandria, Mesir.
Archimedes screw Air dipindahkan keatas melalui sebuah ulir pada sebuah Archimedes Screw
Kisah tentang Archimedes yang banyak diceritakan oleh orang adalah kisah saat Archimedes menemukan cara dan rumus untuk menghitung volume benda yang tidak mempunyai bentuk baku. Menurut kisah tersebut, sebuah mahkota untuk raja Hiero II telah dibuat dan raja memerintahkan Archimedes untuk memeriksa apakah mahkota tersebut benar-benar terbuat dari emas murni ataukah mengandung tambahan perak. Karena Raja Hiero II tidak mempercayai pembuat mahkota tersebut. Saat Archimedes berendam dalam bak mandinya, dia melihat bahwa air dalam bak mandinya tertumpah keluar sebanding dengan besar tubuhnya. Archimedes menyadari bahwa efek ini dapat digunakan untuk menghitung volume dan isi dari mahkota tersebut. Dengan membagi berat mahkota dengan volume air yang dipindahkan, kerapatan dan berat jenis dari mahkota bisa diperoleh. Berat Jenis mahkota akan lebih rendah daripada berat jenis emas murni apabila pembuat mahkota tersebut berlaku curang dan menambahkan perak ataupun logam dengan berat jenis yang lebih rendah. Karena terlalu gembira dengan penemuannya ini, Archimedes melompat keluar dari bak mandinya, lupa berpakaian terlebih dahulu, berlari keluar ke jalan dan berteriak "EUREKA!" atau 'Saya menemukannya' .
Pengungkit Beban 5kg yang diletakkan pada jarak tertentu dapat menyeimbangkan beban 100kg pada satu ungkitan
Buku-buku yang ditulis oleh Archimedes dan berisikan rumus-rumus matematika masih dapat ditemukan sekarang, antara lain On the Equilibrium of Planes, On the Measurement of a Circle, On Spirals, On the Sphere and the Cylinder dan lain sebagainya. Teori-teori matematika yang dibuat oleh Archimedes tidak berarti banyak untuk perkembangan ilmu pengetahuan saat Archimedes meninggal. Tetapi setelah karyanya di terjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad 8 dan 9 (kurang lebih 1000 tahun setelah Archimedes meninggal), beberapa ahli matematika dan pemikir Islam mengembangkan teori-teori matematikanya. Tetapi yang paling berpengaruh terhadap perkembangan dan perluasan teori matematika tersebut adalah pada abad 16 dan 17, dimana pada abad itu, mesin cetak telah ditemukan. Banyak ahli matematika yang menjadikan buku karya Archimedes sebagai pegangan mereka, dan beberapa ahli matematika tersebut adalah Johannes Kepler (1571-1630) dan Galileo Galilei (1564-1642).







         Galileo Galilei

           Galileo lahir di Pisa. Dia anak laki-laki Vincenzo Galilei (1520–1591), seorang komposer dan teoritikus musik yang ulung. Dia menerima pendidikan pertamanya di sebuah biara di dekat Florence, dan di tahun 1581, dia masuk University of Pisa untuk belajar kedokteran. Saat ia menjadi mahasiswa, ia meneliti sebuah lampu gantung yang bergoyang, dan memerhatikan bahwa waktu yang diperlukan lampu itu untuk menyelesaikan ayunannya adalah tetap sama, bahkan bila kecepatan ayunan lampu itu bertambah dengan cepat. Dia kemudian melakukan percobaan terhadap benda-benda tertentu dan mendapati bahwa benda-benda itu juga mengalami hal yang sama, hal ini mengingatkan dia pada prinsip pendulum. Dari penemuan ini, ia dapat menemukan suatu alat untuk mengukur waktu, yang menurut para dokter dapat digunakan untuk mengukur denyut nadi pasien. Christian Huygens kemudian mengambil prinsip ayunan pendulum itu untuk membuat jam pendulum.
         Saat di University of Pisa, Galileo mengikuti pelajaran geometri dan setelah itu meninggalkan kuliah kedokterannya untuk mengabdikan dirinya pada bidang matematika. Namun, dia tidak dapat menyelesaikan kuliahnya karena kekurangan biaya. Dia kembali ke Florence pada tahun 1585 untuk mempelajari karya Euclid dan Archimedes. Dia memperluas karya Archimedes tentang hidrostatik dengan menciptakan keseimbangan hidrostatik, suatu alat yang dirancang untuk mengukur berat jenis benda. Tahun berikutnya, ia menerbitkan suatu tulisan yang menjelaskan penemuan barunya, yang menentukan gravitasi tertentu benda dengan memasukkannya ke dalam air. Dengan keseimbangan hidrostatik, Galileo mendapatkan reputasi sebagai ilmuwan di Itali.
         Tahun 1592, Galileo diangkat sebagai profesor dalam bidang matematika oleh Padua University di Pisa, di mana ia memimpin percobaan tentang benda-benda yang jatuh. Aristoteles menyatakan bahwa benda yang lebih berat seharusnya jatuh lebih cepat daripada benda yang lebih ringan. Dalam percobaan itu Galileo menguji pernyataan Aristoteles dengan memanjat menara miring Pisa, menjatuhkan benda dengan berat yang bervariasi, dan dengan meyakinkan, membuktikan bahwa semua benda -- berapa pun beratnya -- jatuh dengan kecepatan yang sama.
      Tahun 1593, Galileo menemukan salah satu alat ukur yang dapat digunakan dalam ilmu pengetahuan, yaitu termometer. Termometer temuan Galileo ini terdiri dari sebuah gelembung udara yang bisa membesar atau mengecil karena perubahan temperatur dan hal ini bisa menyebabkan level air naik atau turun. Meskipun alat ini tidak akurat karena tidak menghitung perubahan tekanan udara, alat ini merupakan pelopor perkembangan alat-alat canggih.
       Dari tahun 1602 hingga 1609, Galileo mempelajari pergerakan pendulum dan benda-benda lain yang melengkung dan miring. Dengan menggunakan bidang miring yang dirakitnya sendiri, ia menyimpulkan bahwa benda yang jatuh memiliki laju kecepatan yang tetap. Hukum laju kecepatan ini kemudian membantu Issac Newton dalam menemukan hukum gravitasi.
     Galileo tidak memberikan kontribusi apa pun dalam bidang astronomi hingga tahun 1604, saat suatu supernova tiba-tiba muncul menjadi berita hangat. Galileo memperkirakan benda ini lebih cepat daripada planet-planet dan ia juga menunjukkan bahwa ini berarti "surga yang sempurna dan tidak dapat berubah" yang dikemukakan Aristoteles tidak dapat diubah sama sekali. Ironisnya, penemuan Galileo yang terkenal, yaitu teleskop, bukanlah temuannya. Teleskop itu sendiri sebenarnya ditemukan tahun 1608 oleh Hans Lippershey, seorang pembuat kacamata dari Denmark. Saat Galileo mempelajari penemuan ini di pertengahan tahun 1609, dia segera membuat sendiri dan memberikan beberapa tambahan. Teleskop buatannya dapat memperbesar benda-benda 9 kali lipat, 3 kali lebih hebat dari buatan Lippershey. Teleskop Galileo terbukti sangat berguna untuk kegiatan kelautan dan Galileo diangkat sebagai profesor seumur hidup di University of Venice.

Minggu, 05 Februari 2012

Diposting oleh ayi mulia di 07.12 0 komentar

MATRIKS
SUMBER :WIKIPEDIA 
 
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \!

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!
atau dalam representasi dekoratfinya
\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!
\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!

 

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.
\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}
Contoh perhitungan :

5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}       

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}
Contoh perhitungan :
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}
                        

PERSAMAAN KUADRAT DAN KUBIK

Diposting oleh ayi mulia di 05.53 0 komentar

PERSAMAAN KUADRAT

 Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

dengan 



Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

  • (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0
  • (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0
 
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.


Arti nilai a, b, dan c
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
  • a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
  • b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
  • c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
 
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa y=0

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
 
 

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
 
DISKRIMINAN

 Akar-akar dan nilai D.
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
  • Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

  • Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
 dan

PERSAMAAN KUBIK
Sebuah fungsi kubik atau lebih dikenal sebagai fungsi pangkat tiga adalam matematika adalah suatu fungsi yang memiliki bentuk
 
di mana a bernilai tidak nol; atau dengan kata lain merupakan suatu polinomial orde tiga. Turunan dari suatu fungsi kubik adalah suatu fungsi kuadrat. Integral dari suatu fungsi kubik adalah fungsi pangkat empat (kuartik).
Langganan: Komentar (Atom)
 

"Math is a part of my live " Copyright © 2010 Design by Ipietoon Blogger Template Graphic from Enakei